গণিতের ভিত্তি - প্রাথমিক গাণিতিক ধারণাসমূহ - ১

১.  ১ থেকে ৯ এবং ০ প্রতীকের সাহায্যে সমস্ত সংখ্যা লিখন ও পঠন হয়।

    ১ থেকে ৯ পর্যন্ত প্রতীকগুলির প্রকৃত মান হোলো ১ থেকে ৯ । ০-এর প্রকৃত মান ০(শূন্য)।

    ১,২,৩ প্রভৃতি অংকগুলি যে স্থানে বসে , সেই স্থানের মান পায় । এগুলিকে বলা হয় স্থানীয় মান।

২. আঠ অঙ্ক পর্যন্ত সংখ্যার স্থানীয় মাণের ছকটি এ রকম :

কোটি – নিযুত – লক্ষ – অযুত- হাজার – শতক – দশক – একক

   উপরের ছকে ডান দিক থেকে বাঁ দিকে প্রতি ঘরের মান ১০ গুণ করে বাড়ে । অর্থাৎ , এককের চেয়ে       দশক ১০ গুণ বড় , দশকের চেয়ে শতক ১০ গুণ বড় , শতকের চেয়ে হাজার ১০ গুণ বড় ...........   ইত্যাদি। আবার উপরের ছকে বাঁ দিক থেকে ডান দিকে গেলে প্রতি ঘরের মান ১০ গুণ করে কমে । অর্থাৎ ,হাজারের চেয়ে শতক ১০ গুণ কোম , শতকের চেয়ে দশক ১০ গুণ কোম ...... ইত্যাদি।

৩. একক, দশক, শতক, হাজার ...... প্রভৃতি সংখ্যাগুলি সব সময়েই ডান দিক থেকে বাঁ দিকে লিখতে হয়, কিন্তু বলার সময় বাঁ পড়ার সময় সংখ্যাটি সব সময়েই বাঁ দিক থেকে ডান দিকে পোড়তে হয়।

৪. সংখ্যা পড়ার সময় দশক ও এককের ঘরের অংকগুলি, হাজার ও অযুতের ঘরের অঙ্কগুলি এবং লক্ষ ও নিযুতের ঘরের অঙ্কগুলিকে একসঙ্গে মিলিয়ে নিয়ে পড়া হয়।

	কোটি	নিযুত	লক্ষ	অযুত	হাজার	শতক	দশক	একক
এদের পড়া হয়	কোটি	লক্ষ		হাজার		শতক	একত্রে যা হয়

৫. কোন সংখ্যার যতগুলি অঙ্ক থাকে , সংখ্যাটি ঠিক তত অঙ্কের হবে । যেমন – ৩৯৫৭ একটি চার অঙ্কের সংখ্যা । ৮৫৬৭৮০ একটি ছয় অঙ্কের সংখ্যা ।

৬. যে কোন সংখ্যার একেবারে বাঁ দিকে ০ বসালে তার মানের কোন পরিবর্তন হয় না। যেমন – ৫৭৬ , ০৫৭৬ ,০০৫৭৬ – এদের অর্থ একই ।

৭. যতগুলি অঙ্কের খুদ্রতম সংখ্যা ছাওয়া হয় , ১ এর পরে তার ছেয়ে একটি কম ০ বসালেই তা পাওয়া যায়।যেমন ছার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০। ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০০০।

৮. যতগুলি অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ছাওয়া হয়, ততগুলি ৯ বসালেই তা পাওয়া যায়। যেমন – পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯৯। সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯৯।

৯. যেসব সংখ্যার এককের অঙ্কে ০,২,৪,৬ বা ৮ থাকে, তাদের বলা হয় জোড় সংখ্যা। যেমন – ১২০,৩৪৭২,৫৩৪৩৪,৯৮৭৬,১০৪৮৮ প্রভৃতি হল জোড় সংখ্যা।

  যেসব সংখ্যার এককের অঙ্কে ১,৩,৫,৭ বা ৯ থাকে, তাদের বলা হয় বিজোড় সংখ্যা। যেমন –১৫১,৩৭৫৩,২৯৫৫,১০৪৬৭,৫৮৩২৯ প্রভৃতি হল বিজোড় সংখ্যা।

জোড় সংখ্যাগুলিকে ২ দিয়া ভাগ করলে তারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। বিজোড় সংখ্যাগুলিকে ২ দিয়া ভাগ করলে ১ ভাগশেষ থাকে।

১০. জোড় – বিজোড় সংখ্যাগুলির যোগের সম্পর্ক এ রকম

জোড় সংখ্যা + জোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা       যেমন ১৮+২২ =৪০

জোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা  যেমন ১৮+২১ =৩৯

বিজোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা  যেমন ১৭+২৩ =৪০

বিজোড় সংখ্যা + জোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা  যেমন ১৭+১৮ =৩৫

১১. জোড় – বিজোড় সংখ্যাগুলির বিযোগের সম্পর্ক এ রকম

জোড় সংখ্যা - জোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা       যেমন ৩৮-১৮=২০

জোড় সংখ্যা - বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা  যেমন ৩৮-১৭ =২১

বিজোড় সংখ্যা - বিজোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা  যেমন ৩৫-২১ =১৪

বিজোড় সংখ্যা - জোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা  যেমন ৩৫-২০ =১৫

১২. কোন সংখ্যার সঙ্গে ০ যোগ করলে সেই সংখ্যাই হয়। আবার , কোন সংখ্যার থেকে ০ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সেই সংখ্যাই হয়। যেমন ২৩৪+০=২৩৪ আর ১২৩-০=১২৩

১৩. গুণ হল যোগের সংক্ষিপ্ত প্রক্রিয়া। যে সংখ্যা বা রাশিকে গুণ করা হয় তাকে গুণ্য বলে। যে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় তাকে গুণক বলে। গুণ করে যে ফল পাওয়া যায় তাকে গুণফল বলে।

গুণ্য  ×  গুণক = গুণফল

অতএব, গুণ্য = গুণফল ÷ গুণক এবং  গুণক = গুণফল× গুণ্য  ।

১৪. গুণ্য ও গুণকের যে কোন একটি শূন্য হলে গুণফল ০ হয়। যেমন – ১২৪ × ০ = ০ ।

১৫. কোন সংখ্যাকে ১০,১০০,১০০০ প্রভৃতি দিয়ে গুণ করতে হলে ঐ সংখ্যাটির পাশে গুণকের শূন্যগুলি বসিয়ে দিলেই গুণফল পাওয়া যায়। যেমন – ৩৬৬ ×১০ = ৩৬৬০ , ৫৬৭ × ১০০ = ৫৬৭০০ ।

১৬. কোন সংখ্যাকে ২০,৩০,২০০,৩০০ প্রভৃতি দিয়ে গুণ করতে হলে গুণ্যকে ২, ৩ ইত্যাদি দিয়ে গুণ করে তার পাশে গুণকের শূন্যগুলি বসিয়ে দিলেই গুণফল পাওয়া যায় । যেমন – ১২২ × ২০ = ২৪৪০ ।

১২২ × ২০০ = ২৪৪০০।

১৭. দুটি সংখ্যার যোগফল ও বিয়োগফল দেওয়া থাকলে –

                              যোগফল + বিয়োগফল                                    যোগফল - বিয়োগফল

    বৃহত্তম সংখ্যা = ------------------------   এবং  ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = -------------------------

                                    ২                                                            ২

১৮. ভাগ হল বিয়োগের বিপরীত প্রক্রিয়া । যার দ্বারা ভাগ করা হয় তাকে ভাজক বলে। যাকে ভাগ করা হয় তাকে ভাজ্য বলে। ভাজ্য থেকে ভাজক যতবার নেওয়া যায় তাকে ভাগফল বলে। ভাগ করার পর যা  অবশিষ্ট থাকে তাকে ভাগশেষ বলে।

      এদের মধ্যে সম্পর্কগুলি এ রকম ,  

ভাজক )   ভাজ্য   ( ভাগফল

________

ভাগশেষ

বা  ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ

১৯.  ০ - কে কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ০ হয় । যেমন    ০ ÷ ৩ = ০

        কিন্তু কোন সংখ্যাকে ০ দিয়ে ভাগ করা যায় না । যেমন ৩÷০ = ∞            

২০. দুটি সংখ্যার গুণফল এবং একটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে ।

আপর সংখ্যাটি = সংখ্যাদুটির গুণফল ÷ প্রদত্ত সংখ্যাটি

২১. একটি পূর্ণ সংখ্যাকে আর একটি পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যদি ভাগফল পূর্ণ সংখ্যা হয় এবং যদি কোন অবশিষ্ট না থাকে , তবে প্রথম সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় সংখ্যাটি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য বলে। যেমন – ১৮ , ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ।

২২.                                         বিভাজ্যতার নিয়মাবলী
→ ২ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার শেষ অঙ্ক বা এককের অঙ্ক যদি জোড় সংখ্যা বা ০ হয়, তবে ঐ সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৬, ১০ ইত্যাদি।
→ ৩ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১২৩
→ ৪ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৭৪৫২৮।
→ ৫ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার শেষ অঙ্ক বা এককের অঙ্ক ০ বা ৫ হলে ঐ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১০১১০।
→ ৬ দ্বারা বিভাজ্য:
সংখ্যাটি জোড় এবং অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১২৫৪।
→ ৮ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার শেষ ৩টি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৮৫৭৮১২০।
→ ৯ দ্বারা বিভাজ্য:
কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে উক্ত সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন- ৬৫৮৪৭৬।

                                      

২৩. যে সংখ্যা ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয় , তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন – ২ ,৩ , ৭ ,ইত্যাদি ।

যে সংখ্যা ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, তাকে যৌগিক সংখ্যা বলে। যেমন ৪, ১৬,৩২  ইত্যাদি ।

২৪. একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হলে প্রথমটিকে দ্বিতীয়টির গুনিতক বলে। আর দ্বিতীয়টিকে প্রথমটির গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে। যেমন ৮ সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে ৮ হল ২ এর গুনিতক এবং ২ হল ৮ এর গুণনীয়ক বা উৎপাদক।

কোন একটি সংখ্যাকে ১,২,৩,৪ ইত্যাদি ক্রমিক সংখ্যাগুলি দিয়ে গুণ করলে তার গুনিতকগুলি পাওয়া যায়।

কোন সংখ্যার গুনিতকের সংখ্যা অসংখ্য , কিন্ত গুণনীয়কের সংখ্যা নির্দিষ্ট ।

সাধারণভাবে ১-কে কোন সংখ্যার গুণনীয়ক বলে ধরা হয় না।

২৫. কোন সংখ্যার উৎপাদকগুলির মধ্যে যেগুলি মৌলিক সংখ্যা, তাদের সেই সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বলে।

২৬. কোন সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে –

     (ক) ২ থেকে শুরু করে যেসব মৌলিক সংখ্যা দিয়ে সংখ্যাটি বিভাজ্য, তাদের দিয়ে প্রদত্ত সংখ্যাটিকে      ভাগ করতে হবে।       

     (খ) শেষ ভাগফল যতক্ষণ পর্যন্ত একটি মৌলিক সংখ্যা না হচ্ছে , ততক্ষণ ভাগ করতে হবে।

     (গ) সব শেষে সবগুলি ভাজক ও শেষ ভাগফলের গুণফল হিসেবে সংখ্যাটিকে প্রকাশ করতে হবে।

২৭. কোন একটি সম্পূর্ণ বস্তুকে কতকগুলি সমান অংশে ভাগ করে তার এক বা একাধিক অংশ নিলে ভগ্নাংশ গঠিত হয়।

                                  যত ভাগ নেওয়া হচ্ছে                          লব

অর্থাৎ , ভগ্নাংশ = --------------------------------------------  =  -------   ।

                        জিনিষটিকে যতগুলি ভাগে ভাগ করা হচ্ছে              হর

২৮. দশমিক ভগ্নাংসকে সর্বদা “দশ ভাগের অংশ” হিসাবে দেখানো হয়।

দসমিক বিন্দুর বাঁ দিকের সঙ্খাগুলি হয় অখণ্ড বা পূর্ণ সংখ্যা এবং ডান দিকের সংখ্যাগুলি হয় খণ্ড সংখ্যা।

দশমিক যুক্ত সংখ্যাকে লেখা হয় নিচের ছকের মত করে :

হাজার

শতক

দশক

একক

দশমিক বিন্দু

দশাংশ

শতাংশ

সহস্রাংশ

দশমিক বিন্দুর বাঁ দিকের স্থাঙ্গুলির মান এককের চেয়ে যথাক্রমে ১০ গুন, ১০০ গুণ, ১০০০ গুণ বেশি। আবার, এককের ডান দিকের স্থানগুলির মান যথাক্রমে এককের ১০ ভাগ, ১০০ ভাগ ও ১০০০ ভাগ কম।

২৯.দশমিক সংখ্যার যোগ ও বিয়োগ সাধারন সংখ্যার যোগ-বিয়োগের মত। যোগ বা বিয়োগ করার আগে সংখ্যাগুলিকে স্থানীয় মানের ছকে ঠিক ঠিক ভাবে বসিয়া নিতে হয়। দেখতে হয়, দশমিক বিন্দুর ডান দিকের এবং বাঁ দিকের অঙ্কগুলি ঠিক ঠিক জায়গায় বসেছে কিনা।দশমিক বিন্দুর পর যদি ডান পাশে কোন ঘর ফাঁকা থাকে , তাহলে সেখানে ও বসিয়ে ঘরটি পূরণ করে নিতে হয়। এরপর সাধারন যোগ বা বিয়োগের মত যোগ-বিয়োগ করতে হয়।

৩০. মেট্রিক পদ্ধতির দৈর্ঘ্য পরিমাপের একক হল মিটার। মিটার এককের চেয়ে বড় উপসর্গগুলি হল – ডেকা , হেক্টো এবং কিলো। আবার , মিটার এককের চেয়ে ছোট অনুসর্গগুলি হল -  ডেসি , সেন্টি এবং মিলি।

মিটারের হিসাবের সহজ পদ্ধতিটি এ রকম :

------------------------> গুণ ----------------------->
সহস্র	শতক	দশক	একক	দশাংশ	শতাংশ	সহস্রাংশ
কিমি.	হেমি.	ডেকামি.	মি.	ডেসিমি.	সেমি .	মিমি.
<----------------------- ভাগ <------------------------

 

 একক থেকে বাঁ দিকে প্রতিটি ঘরের মান ১০ বেশি এবং ডান দিকে ১০ গুণ কম। তাই মিলিমিটার থেকে মিটার ১০০০ গুণ বেশি । আবার মিটার থেকে কিলোমিটার ১০০০ গুণ বেশি।

৩১. মেট্রিক পদ্ধতির ওজন পরিমাপের একক গ্রাম।

গ্রামের হিসাবের সহজ পদ্ধতিটি এ রকম :

------------------------> গুণ ----------------------->
সহস্র	শতক	দশক	একক	দশাংশ	শতাংশ	সহস্রাংশ
কিগ্রা.	হেগ্রা.	ডেকাগ্র.	গ্রা.	ডেসিগ্রা.	সেগ্রা.	মিগ্রা.
<----------------------- ভাগ <------------------------

৩২. মেট্রিক পদ্ধতির তরল পরিমাপের একক হল লিটার। লিটারের হিসাবের পদ্ধতি ঠিক মিটার বাঁ গ্রামের মতই।

© স্বত্ব শ্রী অরূপ দেবনাথ – ২০১৯